a、b为正整数，a2+b2除以a+b，商q余r，求满足q2+r=1993的所有序数对．

题文

a、b为正整数，a²+b²除以a+b，商q余r，求满足q²+r=1993的所有序数对（a、b）．

题型：未知 难度：其他题型

答案

∵q²+r=1993，r≥0，∴q≤44，r=1993-q²，
若q＜43，则r≥1993-43²=144，
设a²+b²=q（a+b）+r，
∵a²+b²≥2ab，∴（a+b）²≤2（a²+b²）=2q（a+b）+2r，
则（a+b）²≤88（a+b）+2r＜90（a+b），
∴（a+b）＜90．则r＜90，
又∵q≤44，∴q=44，
∵a、b为自然数，a-22，b-22为整数，∴a-22，b-22的个数为0，5、1，4或6，9，
（1）当（a-22）²，（b-22）²的个位是0，5时，
则

a-22=±20b-22=±25或

a-22=±25b-22=±20
即（a、b）为（42，47），（2，47）或（47，42），（47，2），
当（a-22）²，（b-22）²的个位是1，4，
则

a-22=±1b-22=±32，或

a-22=±8b-22=±1，

a-22=±32b-22=±1或

a-22=±31b-22=±8，
即（a，b）为（23，54），（21，54），（30，53），（14，53）或（54，21），（54，23），（53，30），（53，14），
（3）
当（a-22）²，（b-22）²的个位数为6，9时，整数a，b不存在，
综上所述，满足条件的有序对共12组．

解析

a-22=±20b-22=±25

考点

据考高分专家说，试题“a、b为正整数，a2+b2除以a+b，商.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。