n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数．比如：4+6|43+1996，4就是1996的一个吉祥数，试求1996年的所有吉祥数的和．

题文

n为自然数，若n+6|n³+1996，则称n为1996的吉祥数．比如：4+6|4³+1996，4就是1996的一个吉祥数，试求1996年的所有吉祥数的和．

题型：未知 难度：其他题型

答案

由吉祥数定义知：n+6|n³+1996．而n³+1996=n³+6³+1780=（n+6）（n²-6n+36）+1780，所以n3-1996n+6=n²-6n+36+1780n+6
设1780n+6=k（为整数）．则1780=k（n+6）=1×1780=2×890=4×445=5×356=10×178=20×89．所以，当k=1时，n+6=1780，即n=1774，当k=2时，n+6=890，即n=884，同理可分别求得当k=4、5、10、20、178、89时，n的值分别是439，350，172，83，4，14
故：1996年的所有吉祥数的和为1774+884+439+350+172+83+4+14=3720．

解析

n3-1996n+6

考点

据考高分专家说，试题“n为自然数，若n+6|n3+1996，则.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。