题文
如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．
题型：未知 难度：其他题型
答案
设三位数为100a+10b+c，a，b，c都是整数，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c为奇数，
那么 100a+10b+c11=9a+b+a-b+c11，
∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c，
a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18．
∴-8＜a-b+c＜18，
要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11，
（ 1）当a-b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2．
以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2（c-5）a+2c2-c=0
把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当 c=3，5，7，9时，无实数根；
∴此时没有满足条件的三位奇数；
（2）当a-b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2．
以b=a+c-11代入，并整理为关于a的二次方程，得
2a2+2（c-16）a+2c2-23c+131=0．
把c=1，3，5，7，9 逐一讨论a的解
当c=1时，无整数解，当 c=5，7，9时，无实数根；
只有当c=3时，a=8，b=0适合所有条件．
即所求三位数为803．
综上所述，符合条件的三位数为803．
解析
100a+10b+c11
考点
据考高分专家说，试题“如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。
有理数除法
有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
