题文
求所有的正整数对（a，b），使得ab2+b+7整除a2b+a+b．
题型：未知 难度：其他题型
答案
由条件ab2+b+7整除a2b+a+b，
显然ab2+b+7|a2b2+ab+b2，
而a2b2+ab+b2=a（ab2+b+7）+b2-7a，故ab2+b+7|b2-7a，
下面分三种情况讨论；
情形一：b2-7a＞0；这时b2-7a＜b2＜ab2+b+7，矛盾；
情形二：b2=7a，此时a，b应具有a=7k2，b=7k，k是正整数的形式，显然（a，b）=（7k2，7k）满足条件；
情形二：b2-7a＜0，这时由7a-b2≥ab2+b+7，则b2＜7，
进而b=1或2，当b=1时，则条件a2+a+1a+8=a-7+57a+8为正整数，
57能被a+8整除，可知a+8=19或57，进而知a=11或49，
解得（a，b）=（11，1）或（49，1）；
当b=2时，由7a-44a+9（＜2）为正整数，可知7a-44a+9=1，此时a=133，矛盾；
综上，所有解为（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k2，7k）（k是正整数）．
解析
a2+a+1a+8
考点
据考高分专家说，试题“求所有的正整数对（a，b），使得ab2+.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。
有理数除法
有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
