负定矩阵:什么是负定矩阵

1.什么是负定矩阵

设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<就称A为负定矩阵。-A是正定矩阵。2.A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A-1是负定矩阵。

2.什么是负定矩阵？ 不要用定义什么的，要简单易懂一些，最好有一些实例。

负定矩阵，二次型标准化后不论X取和值 结果都是正数就是正定。

3.什么是矩阵的正定和负定？

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:设有二次型,如果对任何x 0都有f(x)>则称f(x) 为正定（半正定）二次型。正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；令A为n 阶对称矩阵，则称A负定（半负定）矩阵。单位矩阵E 就是正定矩阵。二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。必存在U使 即 有 这就证明了A正定。由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使；n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之，∴A正定。同理可证A为半正定时的情况。4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素，（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。证明：设二次型 是正定的 对每个k,k=1,∵对任意k个不全为零的实数，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。充分性：∵，假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设，是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令，就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E，∴A是正定的，三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足。即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零，由于A是负定的当且仅当-A是正定的。

4.矩阵是负定的是什么意思？

方法很多 奇数阶主子式为负 偶数阶为正

5.怎样判断一个矩阵是负定矩阵

方法很多 奇数阶主子式为负 偶数阶为正

6.什么是负定矩阵？ 如何判断？

根据已知条件, 可选择以下方法1. A 的特征值都小于02. A的顺序k阶主子式 * (-1)^k > 03. 对任意非零向量x, x'Ax < 0.

7.如何辨别正定和半正定和负定。

一、正定矩阵判定：1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。3、若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。2、半正定矩阵：如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。三、负定矩阵判定：1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<就称A为负定矩阵。-A是正定矩阵。$A^{-1}$是负定矩阵。4、A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，正定性n×n的实对称矩阵A如果满足对所有非零向量对应的二次型:0就称A为正定矩阵。0则A是一个负定矩阵，=0则A为半正定矩阵，则A为不定矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

8.两个负定矩阵相加还是负定矩阵吗

可以用定义验证，对于任意非零向量x，有xTAx<xTBx<