题文
已知集合
，若集合
，且对任意的
，存在
，使得
（其中
），则称集合
为集合
的一个
元基底.
（Ⅰ）分别判断下列集合
是否为集合
的一个二元基底，并说明理由；
①
，
；
②
，
.
（Ⅱ）若集合
是集合
的一个
元基底，证明：
；
（Ⅲ）若集合
为集合
的一个
元基底，求出
的最小可能值，并写出当
取最小值时
的一个基底
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）①不是
的一个二元基底.
理由是
；
②
是
的一个二元基底.
理由是
，
. 3分
（Ⅱ）不妨设
，则
形如
的正整数共有
个；
形如
的正整数共有
个；
形如
的正整数至多有
个；
形如
的正整数至多有
个.
又集合
含
个不同的正整数，
为集合
的一个
元基底.
故
，即
. 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
，所以
.
当
时，
，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *
假设
为
的一个4元基底，
不妨设
，则
.
当
时，有
，这时
或
.
如果
，则由
，与结论*矛盾.
如果
，则
或
.易知
和
都不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，这时
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，这时
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，有
，
，
，易知
不是
的4元基底，矛盾.
当
时，
均不可能是
的4元基底.
当
时，
的一个基底
；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.
综上，
的最小可能值为5. 14分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得.....”主要考查你对 [集合间交、并、补的运算（用Venn图表示） ]考点的理解。 集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）1、交集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为
。
2、并集概念：
（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为
。
3、全集、补集概念：
（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA，读作U中A的补集，表达式为CUA={x|x∈U，且x
A}。
（2）韦恩图表示为
。
1、交集的性质：
2、并集的性质：
3、补集的性质：
