达布定理:导数介值定理与达布定理有何关系

1.导数介值定理与达布定理有何关系

两者等同

2.比较下面两个定理的区别。(罗尔中值定理和达布定理)

设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),则对于任意给定的η:(a)<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'

3.如何证明达布定理与区间上可导函数的导数没有第一类间断点这个论断是等价的。

达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：(a)<(c)=η.达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),则对于任意给定的η:(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.达布中值定理(Darboux)的其它表达形式：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.达布中值定理（Darboux）的等价形式：b]上可微，b]上f′(x)不等于0，则f′(x) 在[a,b] 上保持定号(恒正或恒负).达布中值定理的证明方法1：已知f'若g(a)=g(b)则由罗尔中值定理，(ε)=0。否则不妨设g(a)>g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<由介值定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,(x)=0即f'(x)=η。证毕方法2：构造函数g(x)=f(x)-ηx，b)区间内可导，所以f(x)在(a,b)区间内连续，由此得出g(x)在(a,b)区间内连续。补充定义使得g(x)在x=a，x=b处连续，因为g'(a)=f'(a)-η<所以一定存在x>a,使得g(x)<g(a),即x=a不是函数g(x)在[a,同理x=b也不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，故g(x)在(a，b)区间内取得最小值，所以必然存在ξ∈（a,使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），所以对于任意给定的η:(a)<η<

4.达布中值定理的达布中值定理

达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.达布中值定理(Darboux)的数学表达形式：设y=f(x)在(A,B)区间中可导.又设[a,b]包含于(A,B),且f'(a)<f'(b),则对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.达布中值定理(Darboux)的其它表达形式：若函数f(x)在[a,b]上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.达布中值定理（Darboux）的等价形式：设 f(x)在 [a,b]上可微，若在 [a,b]上f′(x)不等于0 ，则f′(x) 在[a,b] 上保持定号(恒正或恒负).达布中值定理的证明方法1：已知f'(a)<η<f'(b)，构造函数g(x)=f(x)-ηx，若g(a)=g(b)则由罗尔中值定理，存在ε∈（a,b）使g'(ε)=0。否则不妨设g(a)>g(b)（反过来一样），又g'(b)>0所以由极限保号性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)，由介值定理存在ζ∈（a,ξ）使g(ζ)=g(b)，又由罗尔中值定理，存在δ∈（ζ,b)使g'(δ)=0。所以无论如何总存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η。证毕方法2：构造函数g(x)=f(x)-ηx，由于f(x)在(a,b)区间内可导，所以f(x)在(a,b)区间内连续，由此得出g(x)在(a,b)区间内连续。补充定义使得g(x)在x=a，x=b处连续，因为g'(a)=f'(a)-η<0,所以一定存在x>a,使得g(x)<g(a),即x=a不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函数g(x)在[a,b]上的最小值，故g(x)在(a，b)区间内取得最小值，所以必然存在ξ∈（a,b），使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（费马定理），所以对于任意给定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=η.证毕

5.求一些对考研数学有帮助不在大纲内的公式。像达布定理之类的。

达布定理：设函数f(x)在[a,b]区间上可导，-(b)<则在(a,b)内至少有一点c,使得f'(c)=0.这样导函数虽然未必连续，证明。由于f':+(a)>知lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>，0;根据极限的保号性,在a的右邻域内f(x)>，f(a).这说明f(a)不是最大值;同理,f(b)也不是最大值.f(x)的最大值只能在(a，b)内部某一点c处取得,c必为极大值点，根据费马定理，(c)=0上述为;零点定理“+(a)>，A;f'-(b)<,B）;需要证明f'(c)=C（A>，C>

6.达布定理如何证明?

做辅助函数g(x)=f(x)-rx在[a,b]有g(c)是最值由费马定理g'(c)=0即f'

7.达布定理证明

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