星形线面积:利用曲线积分，求星形线x=acos^3t y=asin^3t所围成的图形面积

1.利用曲线积分，求星形线x=acos^3t y=asin^3t所围成的图形面积

答案为3/8*πa^2。解题过程如下：x=acos^3t,y=asin^3t是星形线,它的面积为∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,t:π/2→0=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt=3/8*πa^2扩展资料：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy。例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

2.计算星形线面积，如图，结果应为3/8πa²，请教为何我计算结果有误

问题关键在于我们取的微元出了问题r^2=x^2+y^2没有问题，此时你的积分元是dθ(x,y代入的是rcosθ和rsinθ)，但是你现在要把x,y分别用acos^3t和asin^3t代入的话相当于做了换元，θ应该表示为t的函数。此处可以根据tanθ=tan^3t求解。

3.求星形线面积，

星形线的面积关于坐标轴对称所以。

4.怎样用曲线积分求星形线的面积

答案为3/8*πa^2。x=acos^3t,y=asin^3t是星形线,它的面积为∫ydx=4*∫asin^3t(acos^3t)'dt,π/2→0=-3*a^2∫sin^4t*cos^2tdt=-3a^2∫(sin^4t-sin^6t)dt=3/8*πa^2扩展资料：（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；

5.关于求星形线面积的积分区间问题

此处积分变量发生了改变，楼主可能是三角不等式推导过程中出了问题，由0≤x≤a即0≤acos t≤a得到0≤cos t≤1，因为此处变量为余弦，不等号需要改变方向，2≥t≥0（总不能推出pi/2≤t≤0这样的结果吧，从而积分方向也要发生改变。

6.星形线的极坐标下的面积怎么求？

我也遇到了这个问题，网上查了一下，解释的不是很清楚。打字费劲。

7.星形线x=acos^3t，y=asin^3t所围成的面积

星形线x=acos^3t，y=asin^3t所围成的面积为3/8*πa^2。因为本题利用了对称性求解，本题利用了定积分求解。x=acos³t，y=asin³S＝4∫(0→a)ydx＝4∫(π/2→0) a(sint)^3 d[a(cost)^3]＝12a^2∫(0→π/2) (sint)^4(cost)^2 dt＝12a^2∫(0→π/2) [(sint)^4－(sint)^6] dt＝12a^2[3/4*1/2*π/2－5/6*3/4*1/2*π/2]＝(3πa^2)/8扩展资料：定积分“设a与b均为常数：b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx;性质2。设a<：c<b;b)f(x)dx=f(a->